Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 2$ , $- \frac{10}{x} + \frac{9}{y} = - 8$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1} & - \frac{3}{1} & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Divide $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - \frac{3}{1} & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Paso 2.2

Divide $3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \cdot 3 & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - \frac{10}{1} & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Paso 2.4

Divide $10$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 1 \cdot 10 & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 10 & \frac{9}{1} & - 8 \end{array}]$

Paso 2.6

Divide $9$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 2 \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.7

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{2}{2} \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - 10 & 9 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & 9 + 10 (- \frac{3}{2}) & - 8 + 10 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ 0 & - 6 & 2 \end{array}]$

Paso 2.9

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{6}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{6}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 2.9.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 2.10

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.10.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 1 + \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 2.10.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$

Paso 5

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} \end{array}]$